抵抗負荷Roにおける平滑コンデンサC

${C=-\frac{\frac{\pi}{2}+sin^{-1}(\frac{Vout_{min}}{V_{out_{max}}})}{2{\pi}fR_o{\times}ln(\frac{V_{out_{min}}}{V_{out_{max}}})}}$

ただし

${\frac{V_{out_{min}}}{V_{out_{max}}}=\eta}$

とすると

${C=-\frac{\frac{\pi}{2}+sin^{-1}(\eta)}{2{\pi}fR_o{\times}ln(\eta)}}$

半波整流回路は、全波整流より波の間隔がさらにπ空くので

${C=-\frac{\pi+\frac{\pi}{2}+sin^{-1}(\eta)}{2{\pi}fR_o{\times}ln(\eta)}=-\frac{\frac{3\pi}{2}+sin^{-1}(\eta)}{2{\pi}fR_o{\times}ln(\eta)}}$

合ってるかは分からないけど...

導出

まずRC並列回路の放電時の電圧は、初期の最大電圧をVmとして

${V_C=V_{m}e^{-\frac{t}{RC}}}$

よりtは

${t=-RC{\times}ln(\frac{V_C}{V_m})}$

ただし、全波整流回路の放電が開始される際の角度はπ/2なので

${t-\frac{\pi}{2\omega}=-RC{\times}ln(\frac{V_C}{V_m})\space\space\cdot\cdot\cdot A}$

また、正弦波交流の電圧瞬時式は

${V=V_m{\times}sin(\omega t)}$

コンデンサが再充電される際は、角度がπ以上であるため

${V_C=V_m{\times}sin(\omega t - \pi)}$

より再充電が開始される時間tは

${t=\frac{1}{\omega}(sin^{-1}(\frac{V_C}{V_m})+\pi) \cdot\cdot\cdot B}$

B式をA式へ代入し

${\frac{\pi}{2}+sin^{-1}(\frac{V_C}{V_m})=-\omega RC \times ln(\frac{V_C}{V_m})}$

Cの式へ整理しVC=Voutmin,Vm=Voutmaxに変換してやると

${C=-\frac{\frac{\pi}{2}+sin^{-1}(\frac{Vout_{min}}{V_{out_{max}}})}{2{\pi}fR_o{\times}ln(\frac{V_{out_{min}}}{V_{out_{max}}})}}$

θ同士の比が静電容量になるという面白い式になりました。

${V_C=\frac{1}{C}\int idt}$

よりiはコンデンサ自身から発生しているので負になります。つまり

${V_C=-\frac{i}{C}t+K}$

放電開始時t=π/(2ω)とおき、そのときVCはVmなので

${K=V_m+\frac{\pi i}{2\omega C}}$

より

${V_C=V_m-\frac{i}{C}(t-\frac{\pi}{2\omega})}$

より

${t-\frac{\pi}{2\omega}=\frac{C(V_m-V_C)}{i}}$

この式に前述のB式を代入し

${\frac{\pi}{2}+sin^{-1}(\frac{V_C}{V_m})=\frac{\omega C(V_m-V_C)}{i}}$

Cの式へ整理しVC=Voutmin,Vm=Voutmax,i=Ioutに変換してやると

${C=\frac{\frac{\pi}{2}+sin^{-1}(\frac{V_{out_{min}}}{V_{out_{max}}})}{2\pi f(V_{out_{max}}-V_{out_{min}})}I_{out}}$

半波整流回路の場合は

${C=\frac{\frac{3\pi}{2}+sin^{-1}(\frac{V_{out_{min}}}{V_{out_{max}}})}{2\pi f(V_{out_{max}}-V_{out_{min}})}I_{out}}$