この前ディスクリートヘッドホンアンプを作ったわけですが、差動増幅回路をゲインを導出して公開しておきますね。オペアンプとかアンプを作るときに参考にしてください。

差動増幅回路のゲイン

JFET

次に初段のゲインを求めます。一つのJFETに流れるテール電流 $I_{t}$ が流れているときの相互コンダクタンスを $g_{m(I_{t})}$ とします。

${A_{V(JFET)}=\frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}}=\frac{\Delta I_tR_1}{\Delta V_{in}}}$

このとき $g_m$ によって流れる電流 $I_t$ は

${\Delta I_t = g_{m(I_t)}\Delta V_{in}}$

つまり

${A_{V(JFET)}\simeq g_{m(I_{t})}R_1}$

ですね。
近似値となるのは、 $g_{m(I_t)}$ が $I_t$ によって変化するからです。
つまりゲイン $G_{(JFET)}$ は

${G_{(JFET)}\simeq 20\log_{10}(g_{m(I_{t})}R_1)}$

$g_{m(I_t)}$ は $I_t$ を増やすことによって増加するため、 $I_t$ を増やすことによりゲイン $G_{(JFET)}$ も増えます。

同じく差動増幅回路なので

${A_{V(BJT)}=\frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}}}$

ここで $V_{BE}$ が熱によって変化したときの電圧 $V_T$ とし、ベースエミッタ間の熱ベース抵抗 $R_T$ と $I_C$ の関係は

${I_C+\Delta I_C=\frac{(V_T+\Delta V_T)}{R_T}=\frac{(V_T+\Delta V_{in})}{R_T}\to \Delta I_C=\frac{\Delta V_{in}}{R_T}}$

変化した分の $\Delta I_C$ がゲインに寄与するのでこのようになります。そして $\Delta V_{out}$ は

${\Delta V_o=\Delta I_C\times R_1\to \Delta I_C=\frac{\Delta V_{out}}{R_1}}$

つまり

${\frac{\Delta V_{out}}{R_1}=\frac{\Delta V_{in}}{R_T}}$

つまり

${A_{V(BJT)}=\frac{R_1}{R_T}}$

熱ベース抵抗 $R_T$ を求めます。 $V_T >> \Delta V_T$ 、 $I_C >> \Delta I_C$ とします。また熱によって得られた電子のエネルギを $eV$ とすると

${R_T=\frac{V_T+\Delta V_T}{I_C+\Delta I_C} \to R_T\simeq \frac{V_T}{I_C}}$

${eV=kT\to V_T=\frac{kT}{e}}$

${R_T\simeq \frac{kT}{I_C\times e}}$

ボルツマン定数 $k$ と絶対温度 $T$ 、電気素量 $e$ として現在の温度を $t=273-T$ とすると

${R_T\simeq 8.62\times 10^{-5}\times \frac{273-t}{I_C}}$

つまり増幅率 $A_{V(BJT)}$ は

${A_{V(BJT)}\simeq 1.16\times10^4\times \frac{R_1I_C}{273-t}\to 1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273-t}}$

つまり

${A_{V(BJT)}\simeq 1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273-t}}$

ゲイン $G_{(BJT)}$ は

${G_{(BJT)}\simeq 20\log_{10}\{1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273-t}\}}$

$I_t$ と $R_1,R_2$ を同じ条件としたとき、ゲイン(増幅率)はJFETよりBJTのほうが大体大きくなります。
JFETのときと同様、 $I_t$ を増やすことによりゲイン $G_{(JFET)}$ も増えます。

${A_{V(JFET)}\simeq g_{m(I_{t})}R_1}$

${G_{(JFET)}\simeq 20\log_{10}(g_{m(I_{t})}\times R_1)}$

${A_{V(BJT)}\simeq 1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273-t}}$

${G_{(BJT)}\simeq 20\log_{10}\{1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273-t}\}}$

ちなみに、片方の出力( $V_{out}+$ あるいは $V_{out}-$ )のみを使用する場合、 $A_V$ は半分になります。つまり $G_{half}=G-\log_{10}(2)$ になります。