もちろんハードウェアを設計してる人なら絶対にご存知のはずですが、角度計算には弧度法を用いています。もし電卓が度数法の場合は弧度法に変更するか、πを180に置き換えるなどして下さい。

抵抗負荷Roにおける平滑コンデンサC

平滑コンデンサC1の電圧波形を拡大したときの波形が以下になります。

波形のようにVout(max)とVout(min)を定義します。交流電源の周波数をfとし、負荷の抵抗値をRoとすると、

${C=-\frac{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{Vout(min)}{V_{out(max)}})}{2{\pi}fR_o{\times}\ln(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}}$

ただし

${\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}}=\eta}$

とすると

${C=-\frac{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\eta)}{2{\pi}fR_o{\times}\ln(\eta)}}$

半波整流回路は、全波整流より波の間隔がさらにπ空くので

${C=-\frac{\pi+\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\eta)}{2{\pi}fR_o{\times}\ln(\eta)}=-\frac{\frac{3\pi}{2}+\sin^{-1}(\eta)}{2{\pi}fR_o{\times}\ln(\eta)}}$

合ってるかは分からないけど...

導出

まずRC並列回路の放電時の電圧は、初期の最大電圧をVmとして

${V_C=V_{m}\exp(-\frac{t}{RC})}$

よりtは

${t=-RC{\times}\ln(\frac{V_C}{V_m})}$

ただし、全波整流回路の放電が開始される際の角度はπ/2なので

${t-\frac{\pi}{2\omega}=-RC{\times}\ln(\frac{V_C}{V_m})\space\space\cdot\cdot\cdot A}$

また、正弦波交流の電圧瞬時式は

${V=V_m{\times}\sin(\omega t)}$

コンデンサが再充電される際は、角度がπ以上であるため

${V_C=V_m{\times}\sin(\omega t - \pi)}$

より再充電が開始される時間tは

${t=\frac{1}{\omega}(\sin^{-1}(\frac{V_C}{V_m})+\pi) \cdot\cdot\cdot B}$

B式をA式へ代入し

${\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_C}{V_m})=-\omega RC \times \ln(\frac{V_C}{V_m})}$

Cの式へ整理しVC=Vout(min),Vm=Vout(max)に変換してやると

${C=-\frac{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}{2{\pi}fR_o{\times}\ln(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}}$

定電流負荷の場合

${C=\frac{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}{2\pi f(V_{out(max)}-V_{out(min)})}I_{out}}$

導出

${V_C=\frac{1}{C}\int idt}$

よりiはコンデンサ自身から発生しているので負になります。つまり

${V_C=-\frac{i}{C}t+K}$

放電開始時t=π/(2ω)とおき、そのときVCはVmなので

${K=V_m+\frac{\pi i}{2\omega C}}$

より

${V_C=V_m-\frac{i}{C}(t-\frac{\pi}{2\omega})}$

より

${t-\frac{\pi}{2\omega}=\frac{C(V_m-V_C)}{i}}$

この式に前述のB式を代入し

${\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_C}{V_m})=\frac{\omega C(V_m-V_C)}{i}}$

Cの式へ整理しVC=Vout(min),Vm=Vout(max),i=Ioutに変換してやると

${C=\frac{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}{2\pi f(V_{out(max)}-V_{out(min)})}I_{out}}$

半波整流回路の場合は

${C=\frac{\frac{3\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}{2\pi f(V_{out(max)}-V_{out(min)})}I_{out}}$

計算式まとめ

抵抗負荷Roの場合

全波整流

${C=-\frac{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}{2{\pi}fR_o{\times}\ln(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}}$

半波整流

${C=-\frac{\frac{3\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}{2{\pi}fR_o{\times}\ln(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}}$

定電流負荷Ioutの場合

全波整流

${C=\frac{\frac{\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}{2\pi f(V_{out(max)}-V_{out(min)})}I_{out}}$

半波整流

${C=\frac{\frac{3\pi}{2}+\sin^{-1}(\frac{V_{out(min)}}{V_{out(max)}})}{2\pi f(V_{out(max)}-V_{out(min)})}I_{out}}$