この前ディスクリートヘッドホンアンプを作ったわけですが、差動増幅回路をゲインを導出して公開しておきますね。オペアンプとかアンプを作るときに参考にしてください。

差動増幅回路のゲイン

JFET

次に初段のゲインを求めます。一つのJFETに流れるテール電流$I_{t}$が流れているときの相互コンダクタンスを$g_{m(I_{t})}$とします。
$I_{t1}\simeq I_{t2}\simeq I_t,R_1=R_2$とすると

${A_{V(JFET)}=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{V_{out+}-V_{out-}}{V_{in+}-V_{in-}}}$

このとき$g_m$によって出力される電圧$V_{out}$は

${V_{out}=R_{1,2}I_t =g_{m(I_t)}R_{1,2}V_{in}=g_{m(I_t)}R_{1,2}(V_{in+}-V_{in-})}$

そして$R_1=R_2$としたとき

${A_{V(JFET)}\simeq g_{m(I_{t})}R_1}$

ですね。
近似値となるのは、$g_{m(I_t)}$が$I_t$によって変化するからです。
つまりゲイン$G_{(JFET)}$は

${G_{(JFET)}\simeq 20\log_{10}(g_{m(I_{t})}R_1)}$

$g_{m(I_t)}$は$I_t$を増やすことによって増加するため、$I_t$を増やすことによりゲイン$G_{(JFET)}$も増えます。

BJT

同じく差動増幅回路なので

${A_{V(BJT)}=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{V_{out+}-V_{out-}}{V_{in+}-V_{in-}}}$

ここでBJTの相互コンダクタンス$g_{m(It)}$による$I_t$は

${I_t=g_{m(I_t)}V_{in}}$

このとき$g_{m(It)}$は

${g_{m(It)}=\frac{I_t}{V_T}}$

ボルツマン定数$k$と熱力学温度$T$、電気素量$e$で熱から得られた電子のエネルギーを$eV$とすると

${eV=kT\to V_T=\frac{k(273+t)}{e}}$

${g_{m(I_t)}=\frac{eI_t}{k(273+t)}=1.16\times 10^4\times \frac{I_t}{273+t}}$

つまり$I_t$は

${I_t=\frac{eI_t}{k(273+t)}V_{in}=1.16\times 10^4\times \frac{I_t}{273+t}V_{in}}$

そして$R_1=R_2$としたときの$V_{out}$は

${V_{out}=I_tR_1=1.16\times 10^4\times \frac{I_tR_1}{273+t}V_{in}}$

つまり増幅率$A_{V(BJT)}$は

${A_{V(BJT)}\simeq 1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273+t}}$

ゲイン$G_{(BJT)}$は

${G_{(BJT)}\simeq 20\log_{10}\{1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273+t}\}}$

$I_t$と$R_1,R_2$を同じ条件としたとき、ゲイン(増幅率)はJFETよりBJTのほうが大体大きくなります。
JFETのときと同様、$I_t$を増やすことによりゲイン$G_{(JFET)}$も増えます。

ゲインまとめ

• JFET

${A_{V(JFET)}\simeq g_{m(I_{t})}R_1}$

${G_{(JFET)}\simeq 20\log_{10}(g_{m(I_{t})}\times R_1)}$

• BJT

${A_{V(BJT)}\simeq 1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273+t}}$

${G_{(BJT)}\simeq 20\log_{10}\{1.16\times10^4\times \frac{R_1I_t}{273+t}\}}$

ちなみに、片方の出力($V_{out}+$あるいは$V_{out}-$)のみを使用する場合、$A_V$は半分になります。つまり$G_{half}=G-\log_{10}(2)$になります。

差動増幅回路のカップリングコンデンサ

• バイポーラトランジスタやバイポーラ入力オペアンプでアンプを設計すると、ベース電流のカットオフするためのカップリングコンデンサを入れる必要が出てきます。
  • ですのでそれについて解説しておきます。

• バイポーラトランジスタはベース電流が常に流れます。またその電流は音量調整用可変抵抗にも流れてしまいます。その結果音量調整と同時に出力オフセット電圧が大きく変化してしまいます。
  • それを阻止すべく、ベース電流をカットするためのカップリングコンデンサが$C_c$になります。
  • $R_{b2}$は$Q_1$にベース電流を供給するための抵抗になります。
• ではベース電圧$V_B$の周波数特性を求めて、適切な$C_c$と$R_{b2}$を求めます。

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ラプラス変換の際の、複素微分演算子$s$は

$s=j\omega$

として
$C_c$と$R_{b2}$を直列RCフィルタを見て、その直列インピーダンス$Z$は

$Z(\omega)=R+\frac{1}{sC_c}=\frac{sC_cR_{b2}+1}{sC_c}$

つまりベース電圧$V_B$は

$V_B\simeq \frac{V_{in+}}{Z}R_{b2}=\frac{sC_cR_{b2}}{sC_cR_{b2}+1}V_{in+}$

つまり入力カップリング回路のゲイン$G_{in+}$は

$G_{in+}(\omega )=\frac{V_B}{V_{in+}}\simeq \frac{sC_cR_{b2}}{sC_cR_{b2}+1}=\frac{(\omega C_cR_{b2})^2+j\omega C_cR_{b2}}{(\omega C_cR_{b2})^2+1}$

また、位相$\phi_{in+}$は

$\arctan(\frac{\omega C_cR_{b2}}{0})\simeq \frac{\pi}{2}$

$\phi_{in+}(\omega )=\frac{\pi}{2}-\arctan(\omega C_cR_{b2})$

ここで$\omega_p=\frac{1}{C_cR_{b2}}$としたときのゲインと位相は

$G_{in+(\omega_p)}=\frac{j}{j+1}=\frac{1+j}{2}\to |G_{in+(\omega_p)}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$G_{in+(\omega_p,\log)}=20\log_{10}(\frac{\sqrt{2}}{2})=-3[\text{dB}]$

$\phi_{in+(\omega_p)}=\frac{\pi}{4}$

また、$\omega_p=\frac{1}{C_cR_{b2}}$よりこのポール周波数を$f_p$とすると

$2\pi f_p=\frac{1}{C_cR_{b2}}\to f_p=\frac{1}{2\pi C_cR_{b2}}$

また$\omega =\infty$のときの$G_{in+(\omega =\infty)}$

$\lim_{\omega \to \infty}(G_{in+(\omega = \infty)})\to \frac{\frac{d}{d\omega}(sC_cR_{b2})}{\frac{d}{d\omega}(sC_cR_{b2}+1)}=1$

$\lim_{\omega \to \infty}(G_{inv+(\omega = \infty)})=1$

$\lim_{\omega \to \infty}(G_{inv+(\omega = \infty,\log)})=0[\text{dB}]$

となります。(ロピタルの定理で極限をゴリ押しました)
よって$G_{in+}$のボード線図を描くと

また$R_{b2}$のときの直流オフセット電圧$V_\text{offset}$は

${V_\text{offset}=\frac{R_2I_t}{h_{FE(Q_1)}}}$

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これらをまとめると

• フィルターのゲインが一定になるポール周波数$f_p$は

$f_p=\frac{1}{2\pi C_cR_{b2}}$

この$f_p$が低いほど低域が出やすくなります。カップリングコンデンサに 電解コンデンサ などを用いて$C_c$を大きくし、$f_p$をなるべく下げるのがコツです。
人間は 最低可聴周波数が$20\text{Hz}$ と言われているので、$f_p$が その周波数未満 にできるといいかもしれません。

• $R_{b2}$のときの直流オフセット電圧$V_\text{offset}$は

${V_\text{offset}=R_2I_{in+}=\frac{R_2I_t}{h_{FE(Q_1)}}}$

$R_2$の値に 比例して直流オフセット電圧が増加する ので、数$\text{mV}$ 台まで にしてオフセット電圧調整ができればそこで打ち消しましょう。

• $\omega =2\pi f$としたときの入力カップリング回路の複素ゲイン$G_{in+}$と位相$\phi_{in+}$は

$G_{in+}(\omega )=\frac{(\omega C_cR_{b2})^2+j\omega C_cR_{b2}}{(\omega C_cR_{b2})^2+1}$

$G_{in+(\log)}(\omega )=20\log_{10}(\frac{\sqrt{(\omega C_cR_{b2})^4+(\omega C_cR_{b2})^2}}{(\omega C_cR_{b2})^2+1})$

$\phi_{in+}(\omega )=\frac{\pi}{2}-\arctan(\omega C_cR_{b2})$